En este estudio, construimos una nueva clase de funciones convexas, llamadas funciones convexas generalizadas de tipo polinomial. Investigamos sus propiedades algebraicas y proporcionamos algunas relaciones entre estas funciones y otros tipos de funciones convexas. Establecemos la desigualdad de Hermite-Hadamard (H-H) para la clase recién definida de funciones. Además, derivamos refinamientos de la desigualdad de H-H para funciones cuyas primeras derivadas en valor absoluto en cierta potencia son convexas generalizadas de tipo polinomial. Cuando , nuestra definición evoluciona hacia una nueva definición para la clase de funciones convexas llamadas funciones armónicamente convexas generalizadas de tipo polinomial. Los resultados obtenidos en este estudio generalizan los encontrados en la literatura existente. Al extender estos tipos particulares de desigualdades, el objetivo es descubrir nuevas perspectivas matemáticas, atributos y conexiones que puedan mejorar la evolución de metodologías matemáticas más sólidas. Este estudio ayuda en la progresión de instrumentos matemáticos en diversos campos científicos.