Proponemos aquí un marco general que abarca una amplia gama de operadores fraccionarios para funciones vectoriales. Indicamos hasta qué punto el caso en el que las suposiciones se expresan en términos de topología débil es simétrico al caso de la topología de norma. Sin embargo, aprovechando las diferencias entre estos casos, enfatizamos las condiciones de crecimiento posiblemente menos restrictivas. De hecho, presentamos una definición y un estudio serio de derivadas fraccionarias generalizadas de Hilfer. Proponemos una nueva versión de cálculo para derivadas fraccionarias generalizadas de Hilfer para funciones vectoriales, que generaliza casos previamente estudiados, incluidos los de funciones reales. Tenga en cuenta que los operadores diferenciales fraccionarios generalizados de Hilfer en términos de topología débil se estudian aquí por primera vez, por lo que nuestros resultados son nuevos. Finalmente, como ejemplo de aplicación, estudiamos algunos problemas de valor en la frontera con derivadas fraccionarias generales recién introducidas y con condiciones integrales en la frontera expresadas en términos de integrales fraccionarias del mismo tipo, extendiendo todos los casos conocidos de estudios en topología débil.