Lograr una precisión de alto orden en los métodos de diferencia finita/espectrales para ecuaciones diferenciales fraccionarias espacio-temporales a menudo depende de supuestos de suavidad muy restrictivos y generalmente poco realistas en los dominios espaciales y/o temporales. Para la discretización espacial, se suelen emplear métodos espectrales que utilizan funciones de base suaves. Sin embargo, las derivadas fraccionarias espaciales presentan desafíos, ya que a menudo carecen de suavidad espacial garantizada, lo que requiere funciones de base no suaves. En el dominio temporal, se suelen emplear esquemas de diferencia finita en mallas uniformemente graduadas; sin embargo, lograr precisión sigue siendo un desafío para soluciones no suaves. En este artículo, se adopta un algoritmo eficiente para mejorar la precisión de los esquemas espectrales de diferencia finita/Petrov-Galerkin para una ecuación de reacción-difusión fraccional espacio-temporal, con un Laplaciano fraccional integral hipersingular y soluciones no suaves en ambos dominios temporal y espacial. El método espectral de Petrov-Galerkin se adapta utilizando funciones de base generalizadas no suaves para discretizar la variable espacial, y se utiliza el esquema L1 en una malla graduada no uniforme para aproximar la derivada fraccional de Caputo. Se establece la estabilidad y convergencia incondicionales. La tasa de convergencia se logra sin necesidad de supuestos de regularidad adicionales sobre la solución. Finalmente, se proporcionan resultados numéricos para validar nuestros hallazgos teóricos.