En este trabajo introducimos e investigamos las ideas de integrabilidad de Riemann estadística, sumabilidad de Riemann estadística, integrabilidad de Lebesgue estadística y sumabilidad de Lebesgue estadística a través de la media ponderada diferida. Primero establecemos algunos teoremas límite fundamentales que conectan estas hermosas y potencialmente útiles nociones. Además, basándonos en nuestras técnicas propuestas, establecemos teoremas de aproximación de tipo Korovkin con funciones de prueba algebraicas. Finalmente, presentamos dos ejemplos ilustrativos bajo la consideración de operadores lineales positivos en asociación con los polinomios de Bernstein para mostrar la efectividad de nuestros hallazgos.