Revisamos los campos vectoriales de Pólya asociados a funciones holomorfas como una herramienta pedagógica importante para hacer comprensible la integral compleja a los estudiantes, mencionando brevemente su uso en otras dimensiones. Luego se utilizan técnicas de geometría diferencial para refinar el estudio de funciones holomorfas desde un punto de vista métrico (riemanniano), diferencial afín o diferencial. Demostramos que las únicas funciones holomorfas no triviales, cuyo campo vectorial de Pólya es torse-formante en la geometría canónica del plano, son las transformaciones especiales de Möbius de la forma. Definimos y caracterizamos varios tipos de conexiones afines, relacionadas con el paralelismo de los campos vectoriales de Pólya. Sugerimos un programa para la clasificación de funciones holomorfas, a través de estas conexiones, basado en los diversos índices de nulidad de sus campos tensoriales de curvatura y torsión.