El formalismo lagrangiano se establece para ecuaciones diferenciales con funciones especiales de la física matemática como soluciones. El formalismo se basa en Lagrangianos estándar o no estándar. Este trabajo muestra que el procedimiento para derivar los Lagrangianos estándar conduce a Lagrangianos para los cuales la ecuación de Euler-Lagrange se anula de manera idéntica, y que solo algunos de estos Lagrangianos se convierten en Lagrangianos nulos con funciones de calibración bien definidas. También se demuestra que los Lagrangianos no estándar requieren que las ecuaciones de Euler-Lagrange se modifiquen mediante condiciones auxiliares, lo cual es un nuevo fenómeno en el cálculo de variaciones. La existencia de las condiciones auxiliares tiene profundas implicaciones en la validez de las condiciones de Helmholtz. Los resultados obtenidos se utilizan para derivar los Lagrangianos de las ecuaciones de Airy, Bessel, Legendre y Hermite. Los ejemplos presentados demuestran claramente que el formalismo lagrangiano desarrollado es aplicable a todas las ecuaciones diferenciales consideradas, incluidas las ecuaciones de Airy (y otras similares), y que las ecuaciones de Bessel regulares y modificadas son las únicas con funciones de calibración. Se discuten las posibles implicaciones de la existencia de las funciones de calibración para estas ecuaciones.