En este artículo de investigación, presentamos una nueva familia de funciones holomorfas, relacionadas con las funciones de giro acotado generalizado y funciones generadoras de coeficientes de Gregory. Aprovechando el concepto de funciones con partes reales positivas, obtenemos los primeros cinco coeficientes para las funciones pertenecientes a esta familia recién definida, demostrando su agudeza. Además, encontramos el tercer determinante de Hankel para funciones en la clase. Asimismo, se estiman los límites agudos para los coeficientes logarítmicos e inversos de las funciones pertenecientes a la clase considerada.