Supongamos que es un espacio de medida métrico que satisface una condición de -doubling con y soporta una desigualdad de -Poincaré. Sea un operador no negativo generalizado por una forma de Dirichlet y sea un peso de Muckenhoupt perteneciente a una clase de Hölder inversa para algún . En este artículo, consideramos el problema de Dirichlet para la ecuación de Schrödinger en el semiespacio superior , que tiene como valor en la frontera en . Mostramos que una solución de la ecuación de Schrödinger satisface la condición de tipo Carleson si y solo si existe una función cuadrada de Morrey tal que puede expresarse mediante la integral de Poisson de . Esto extiende los resultados de Song-Tian-Yan [Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 34 (2018), 787-800] del espacio euclidiano al espacio de medida métrico y mejora el índice de Hölder inverso de a .