Consideramos una amplia clase de funciones sumatorias, asociadas con las funciones aritméticas multiplicativas de una variable escalada, donde es un número primo. Suponiendo un comportamiento asintótico de la función sumatoria, , donde , y , , calculamos la función de renormalización , definida como una razón , y encontramos sus asíntotas cuando . Demostramos que una función de renormalización es multiplicativa, es decir, con primos distintos. Extendemos estos resultados a otras funciones sumatorias , y , , . Aplicamos las fórmulas derivadas a un gran número de funciones sumatorias básicas, incluyendo las funciones totientes de Euler y Dedekind, las funciones de divisores y divisores primos, la suma de Ramanujan y las series de Dirichlet de Ramanujan, entre otros.