En el papel establecemos algunas condiciones bajo las cuales una secuencia dada de polinomios en un espacio de Banach soporta funciones enteras de tipo ilimitado, y construimos algunos contraejemplos. Mostramos que si es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces el conjunto de funciones enteras de tipo ilimitado puede ser representado como una unión de subespacios lineales de dimensión infinita (sin el origen). Además, demostramos que para algunos casos, el conjunto de funciones enteras de tipo ilimitado generadas por una secuencia dada de polinomios contiene un álgebra de dimensión infinita (sin el origen). Se obtienen algunas aplicaciones para funciones analíticas simétricas en espacios de Banach.