El artículo está relacionado con el problema clásico de la aproximación racional de funciones analíticas de una o varias variables, particularmente los problemas que surgen en la construcción y estudio de expansiones de fracciones continuas y sus generalizaciones multidimensionales: expansiones de fracciones continuas ramificadas. Utilizamos combinaciones de relaciones de recurrencia de tres y cuatro términos de la función hipergeométrica generalizada para construir las expansiones de fracciones continuas ramificadas de los cocientes de esta función. También utilizamos el concepto de correspondencia y el método de investigación para extender la convergencia, ya conocida para una pequeña región, a una región más grande. Como resultado, hemos establecido algunos criterios de convergencia para las expansiones mencionadas anteriormente. Se demuestra que las expansiones de fracciones continuas ramificadas convergen a las funciones que son una continuación analítica de los cocientes mencionados anteriormente en alguna región. Las expansiones construidas pueden aproximar las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales y funciones analíticas, que están representadas por la función hipergeométrica generalizada. Para ilustrar esto, hemos realizado algunos experimentos numéricos al final.