En este artículo, analizamos un problema de control óptimo con una función de costo mixta, que combina un costo terminal en el estado final y un término integral que involucra las variables de estado y control. El problema incluye tanto restricciones de estado como de control, lo que añade complejidad al análisis. Establecemos una condición necesaria de optimalidad en forma del principio máximo, donde la ecuación adjunta es una ecuación integral que involucra los integrales de Riemann y Stieltjes con respecto a una medida de Borel. Nuestro enfoque se basa en la teoría de Dubovitskii-Milyutin, que emplea aproximaciones cónicas para gestionar de manera eficiente las restricciones de estado. Para ilustrar la aplicabilidad de nuestros resultados, consideramos dos ejemplos relacionados con modelos epidemiológicos, específicamente el modelo SIR. Estos ejemplos demuestran cómo el marco desarrollado puede informar estrategias de control óptimo para mitigar la propagación de enfermedades. Además, exploramos las implicaciones de nuestros hallazgos en contextos más amplios, enfatizando cómo las funciones de costo mixtas se manifiestan en diversos entornos aplicados. Incorporar restricciones de estado requiere técnicas matemáticas avanzadas, y nuestro enfoque proporciona una manera estructurada de abordarlas. La naturaleza integral de la ecuación adjunta resalta el papel de las herramientas de teoría de medidas en el control óptimo. A través de nuestros ejemplos, demostramos aplicaciones prácticas de la metodología propuesta, reforzando su utilidad en situaciones de la vida real. Al extender el marco de Dubovitskii-Milyutin, contribuimos a una comprensión más profunda de los problemas de control restringido y sus soluciones.