Sea un grafo y sea una función. Dado un vértice con , si todos los vecinos de tienen peso cero, entonces se llama indefendido con respecto a . Además, si cada vértice con tiene un vecino con y la función con , , si no tiene ningún vértice indefendido, entonces se llama una función débil de dominación romana. Además, la función es una función perfecta de dominación romana si cada vértice con es adyacente a exactamente un vértice para el cual . Sea el peso de . El número de dominación romana débil (resp., perfecto), denotado por (resp., ), es el peso mínimo de la función de dominación romana débil (resp., perfecta) en . En este artículo, caracterizamos aquellos árboles donde el número de dominación romana perfecto es igual al número de dominación romana débil, en el sentido de que cada función de dominación romana débil de peso mínimo es, al mismo tiempo, perfecta de dominación romana.