En este documento, buscamos generalizar un operador diferencial-integral fraccional en el disco unitario abierto utilizando el cálculo de Jackson (cálculo cuántico o q-cálculo). A continuación, al consumir el operador generalizado para definir una fórmula de funciones analíticas normalizadas, presentamos un conjunto de desigualdades integrales utilizando los conceptos de subordinación y superordinación. Además, como aplicación, determinamos las soluciones máximas y mínimas de la ecuación extendida de aguas poco profundas 2D fraccionarias en un dominio complejo.