Este artículo presenta una novedosa expresión en forma cerrada y sin coordenadas para la transformación de Cayley de orden superior, un concepto que no ha sido explorado en profundidad antes. La transformación está definida por el álgebra de Lie de vectores tridimensionales en el grupo de Lie de tensores euclídeos ortogonales adecuados. El enfoque utiliza solo cálculos algebraicos elementales con vectores euclídeos y tensores. Las expresiones analíticas se dan mediante funciones racionales por la norma euclidiana de la parametrización del vector. La inversa del mapa de Cayley de orden superior es una función multivaluada que recupera los vectores de Rodrigues de orden superior (la parametrización principal y sus sombras). Utilizando parametrizaciones de vectores de Euler y vectores de Rodrigues de orden superior, determinamos la velocidad angular instantánea (en el espacio y en el marco del cuerpo), las ecuaciones cinemáticas y el operador tangente. Las expresiones analíticas de las cantidades parametrizadas son idénticas tanto para la parametrización del vector principal como para la de las sombras, mostrando la novedad y el potencial de nuestra investigación.