Si es un sistema lineal alcanzable sobre un anillo regular de von Neumann conmutativo, se define una colección finita de elementos idempotentes, constituyendo un conjunto completo de invariantes para la equivalencia de retroalimentación. Esta colección nos permite construir explícitamente una forma canónica. Se establecen relaciones entre este conjunto de idempotentes y varias otras familias de invariantes de retroalimentación. Para sistemas de tamaños fijos, el conjunto de clases equivalentes de retroalimentación de sistemas alcanzables se pone en correspondencia biunívoca con una partición adecuada de en conjuntos abiertos y cerrados. Además, se demuestra que un anillo conmutativo es regular de von Neumann si y solo si cada sistema alcanzable sobre es una suma directa finita de sistemas de Brunovsky, para una descomposición adecuada de .