Estudiamos la forma óptima de una columna elástica invertida con fuerza concentrada en el extremo y en el campo gravitacional. Generalizamos resultados anteriores sobre este problema en dos direcciones. Primero demostramos un teorema sobre la bifurcación de ecuaciones de equilibrio no lineales para una columna de sección transversal arbitraria. En segundo lugar, determinamos el área de la sección transversal para la columna comprimida de la manera óptima. Se construye un principio variacional para las ecuaciones que determinan la forma óptima y se construyen dos nuevas primeras integrales que se utilizan para verificar la integración numérica. Luego, aplicamos el teorema de Noether y determinamos los grupos de transformación que dejan el principio variacional invariante de calibre. El problema clásico de Lagrange sigue como un caso especial. Se presentan varios ejemplos numéricos.