Las familias ortogonales de cuárticas bicirculares se ven naturalmente como pares de foliaciones singulares por trayectorias verticales y horizontales de un diferencial cuadrático no nulo. Sin embargo, la identificación de estas trayectorias con cuárticas reales es sutil. Aquí presentamos un argumento geométrico eficiente en el proceso de actualizar la teoría clásica de familias confocales en el lenguaje moderno de diferenciales cuadráticos y la forma normal de Edwards para curvas elípticas. En particular, definimos una equivalencia birracional explícita entre cada curva en una familia confocal y una curva fija en forma normal.