Este trabajo está inspirado en algunos desarrollos recientes sobre la extensión de funciones reales de Lipschitz basadas en la minimización del valor máximo de las pendientes de un conjunto de referencia para esta función. Proponemos un nuevo método en el cual se optimiza un promedio integral en lugar de su valor máximo. Mostramos que este es un caso particular de un enfoque teórico más general estudiado aquí, proporcionado por representaciones de medida de los espacios métricos involucrados, y una fórmula de dualidad. Para , se demuestran fórmulas explícitas, que también se muestran como un caso particular de una clase más general de extensiones basadas en medidas, a las que llamamos extensiones de medida elipsoidal. Se muestran las propiedades de acotamiento de tipo Lipschitz de tales extensiones. También se presentan ejemplos y aplicaciones concretas.