Este artículo trata sobre una variedad analítica riemanniana dada localmente. Una de las tareas principales es definir su extensión analítica regular para generalizar la noción de completitud. Esta extensión se estudia para métricas cuyo álgebra de Lie de todos los campos vectoriales de Killing no tiene centro. También se da la generalización de la completitud para una métrica arbitraria. Otra tarea es analizar la posibilidad de extender la isometría local a una isometría de alguna variedad. Esto se puede hacer para métricas cuyo álgebra de Lie de todos los campos vectoriales de Killing no tiene centro. Para tales métricas, existe una variedad en la cual cualquier campo vectorial de Killing genera un grupo de isometrías de un parámetro. Demostramos la siguiente condición casi necesaria bajo la cual el álgebra de Lie de todos los campos vectoriales de Killing genera un grupo de isometrías en alguna variedad. Sea el álgebra de Lie de todos los campos vectoriales de Killing en una variedad analítica riemanniana, su subálgebra estacionaria, su centro y su conmutante. Sea un grupo de Lie generado por y un subgrupo generado por . Si , entonces es cerrado en .