Representa anillos conmutativos que tienen elementos de unidad. La colección de todos los elementos divisor de cero en se representa por . Denotamos un grafo de divisor de cero extendido por la notación de Este grafo tiene un conjunto de vértices en . El grafo ilustra las interacciones entre los elementos divisor de cero de Específicamente, dos vértices diferentes y están conectados en si es distinto de cero o es distinto de cero. La idea principal de este trabajo es analizar sistemáticamente el anillo que es finito por el aspecto único de su grafo de divisor de cero extendido. Este estudio se enfoca particularmente en casos donde el grafo de divisor de cero extendido tiene un género o una tapa cruzada de dos. Además, este trabajo tiene como objetivo caracterizar exhaustivamente el anillo finito en el que el grafo de divisor de cero extendido tiene un índice de exterioridad de dos. Finalmente, determinamos el grosor del libro de para un género como máximo uno.