En este documento, investigamos el problema de Cauchy para ecuaciones de evolución abstractas no autónomas de la forma . Obtenemos nuevos teoremas de existencia para soluciones globales suaves bajo familias de evolución compactas y no compactas. Nuestro método clave se basa en el teorema generalizado de Ascoli-Arzela que obtuvimos previamente. Finalmente, se proporciona un ejemplo para ilustrar la aplicabilidad de nuestros resultados.