Estudiamos el grupo de transformaciones de funciones hipergeométricas evaluadas en la unidad con un desplazamiento de una unidad en los parámetros. Revelamos la forma general de esta familia de transformaciones y su propiedad de grupo. A continuación, utilizamos transformaciones explícitamente conocidas para generar un subgrupo cuya estructura luego se estudia a fondo. Utilizando algunos resultados conocidos para grupos de transformación, mostramos que este subgrupo es isomorfo al producto directo del grupo simétrico de grado 5 y la retícula entera de 5 dimensiones. Investigamos la relación entre las transformaciones de dos términos de nuestro grupo y las transformaciones de tres términos y presentamos un método para calcular los coeficientes de las relaciones contiguas para funciones evaluadas en la unidad. Además, proporcionamos una clase de fórmulas de sumación asociadas con los elementos de nuestro grupo. En el apéndice de este documento, proporcionamos una colección de rutinas que facilitan los cálculos del grupo.