Sea una cadena pentagonal con pentágonos en la que dos pentágonos con dos aristas en común pueden considerarse como añadiendo un vértice y dos aristas a un hexágono. Por lo tanto, las cadenas lineales de derivación pentagonales representan el grafo obtenido adjuntando anillos de cuatro elementos a cada dos pentágonos de . En este artículo, se determina el espectro de Laplaciano que consiste en los valores propios de dos matrices simétricas. A continuación, se estudian las fórmulas de dos invariantes de gráficos que pueden representarse mediante el espectro de Laplaciano, a saber, el índice de Kirchhoff y el número de árboles de expansión. Sorprendentemente, el índice de Kirchhoff es casi la mitad del índice de Wiener de una cadena lineal de derivación pentagonal.