Introducimos la noción de conjuntos ortogonales para la ortogonalidad de Birkhoff, que llamaremos conjuntos ortogonales de Birkhoff en este artículo. Como generalización de conjuntos ortogonales en espacios de Hilbert, los conjuntos ortogonales de Birkhoff no son necesariamente conjuntos linealmente independientes en espacios normados reales de dimensión finita. Demostramos que el conjunto ortogonal de Birkhoff que contiene puntos simétricos derechos es linealmente independiente en espacios normados suaves. En particular, obtenemos resultados similares en espacios normados estrictamente convexos cuando y en espacios normados suaves y estrictamente convexos cuando . Estos resultados obtenidos pueden aplicarse a los conjuntos mutuamente ortogonales de Birkhoff estudiados recientemente.