La solución de series infinitas a los problemas de valor en la frontera de la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de Dirichlet discontinuas se encontró utilizando el método básico de separación de variables. El mérito de este artículo es que la solución en forma cerrada, o la solución de singularidad similar en el dominio de la franja semi-infinita y el dominio del primer cuadrante, puede generarse a partir de la solución de serie infinita básica en el dominio rectangular. Además, basado en el principio de superposición, la solución de serie infinita en el dominio rectangular puede relacionarse con la solución de singularidad similar en el dominio de la franja semi-infinita. Se ha demostrado que el comportamiento singular tipo fuente analítico en la solución de serie infinita cerca de ciertos puntos singulares en el dominio rectangular puede revelarse a partir de la solución de singularidad similar en el dominio de la franja semi-infinita. Al extender el límite del dominio rectangular, se puede derivar la solución de serie infinita a la ecuación de Laplace en el dominio del primer cuadrante para obtener la solución de singularidad similar analítica de una manera directa y mucho más fácil que utilizando los métodos de transformada de Fourier, imágenes y mapeo conforme.