En este documento, estudiamos matrices tridiagonales periódicas de Toeplitz con esquinas perturbadas. Mediante el uso de algunas transformaciones de matriz, el complemento de Schur y técnicas de descomposición de matrices, así como la fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury, derivamos determinantes e inversas explícitas de estas matrices. Una característica de estas fórmulas es la conexión con los famosos números de Mersenne. También proponemos dos algoritmos para ilustrar nuestras fórmulas.