En este documento, presentamos una formulación generalizada del mapa logístico extendido al plano complejo y redefinimos correspondientemente los conjuntos clásicos de Mandelbrot y Julia dentro de este marco más amplio. Central en nuestro enfoque es el desarrollo de un criterio de escape basado en la órbita de Picard, que sustenta los algoritmos de tiempo de escape empleados para aproximaciones gráficas de estos conjuntos. Analizamos las propiedades estructurales y dinámicas de los conjuntos resultantes de Mandelbrot y Julia, enfatizando sus simetrías inherentes a través de visualizaciones detalladas. Además, examinamos cómo las variaciones en un parámetro clave del mapa generalizado afectan dos métricas numéricas críticas: el tiempo de escape promedio y el índice de área no escapante. Nuestro estudio computacional revela que, especialmente para los conjuntos de Julia, estas dependencias se caracterizan por un comportamiento intrincado y altamente no lineal, resaltando la profunda complejidad y sensibilidad del sistema bajo este mapeo generalizado.