Una de las tareas desafiantes en el estudio de la teoría de funciones es cómo obtener estimaciones precisas de los coeficientes que aparecen en la serie de Taylor-Maclaurin de funciones univalentes analíticas, y para obtener estos límites, los investigadores utilizan los conceptos de funciones de Carathéodory. Entre estos problemas relacionados con coeficientes, el problema del límite preciso del determinante de Hankel de tercer orden es el más difícil. El objetivo del presente estudio es determinar el límite preciso del determinante de Hankel de tercer orden utilizando la metodología de la mencionada familia de funciones de Carathéodory. Además, también estudiamos algunos otros problemas relacionados con coeficientes, como la desigualdad de Fekete-Szeg y el determinante de Hankel de segundo orden. Examinamos estos resultados para la familia de funciones de giro acotadas vinculadas con un dominio en forma de cardiode.