Mostramos que hay una correspondencia biunívoca entre funciones positivas operador-monótonas en los reales positivos, métricas Riemannianas monótonas y medidas de Borel positivas finitas en el intervalo unitario. Esta correspondencia aparece como una representación integral de medias armónicas ponderadas con respecto a esa medida en el intervalo unitario. También investigamos las condiciones normalizadas/simétricas para funciones operador-monótonas. Estas condiciones resultan caracterizar también métricas monótonas y funciones de Morozowa-Chentsov. Se proporcionan también representaciones integrales concretas de tales funciones relacionadas con métricas monótonas conocidas. Además, utilizamos esta representación integral para descomponer funciones positivas operador-monótonas. Dicha descomposición da lugar a una descomposición de la métrica monótona asociada.