Mostramos cómo obtener nuevos resultados sobre la estabilidad de Ulam de la ecuación cuadrática utilizando el límite de Banach y el teorema del punto fijo obtenido recientemente para algunos espacios de funciones. La ecuación está modelada en la identidad del paralelogramo utilizada por Jordan y von Neumann para caracterizar los espacios de productos internos. Nuestros principales resultados afirman que los mapas, de los grupos abelianos al conjunto de los reales, que satisfacen la ecuación aproximadamente (en cierto sentido) están cerca de sus soluciones. De esta manera, generalizamos varios resultados previos similares, al dar estimaciones mucho más finas de las distancias entre tales soluciones de la ecuación. También presentamos un resumen simplificado de los resultados previos relacionados.