Se propone una perturbación retardada de la función matriz de tipo Mittag-Leffler con logaritmo. Esto combina la función matriz de tipo Mittag-Leffler clásica con un logaritmo y una función matriz de tipo Mittag-Leffler retardada. Con la ayuda de esta perturbación retardada introducida de la función matriz de tipo Mittag-Leffler con logaritmo, proporcionamos una forma explícita para las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de tipo Hadamard con retraso fraccional en el tiempo. También examinamos la existencia, unicidad y estabilidad de Ulam-Hyers de ecuaciones no lineales de tipo Hadamard con retraso fraccional en el tiempo.