La tasa de convergencia en el famoso teorema de Rényi se estudia mediante el refinamiento del método de Stein. Específicamente, se demuestra que la nueva estimación de la tasa de convergencia de las sumas geométricas normalizadas a la ley exponencial que involucra la métrica de probabilidad ideal de segundo orden es precisa. Algunos resultados recientes sobre las tasas de convergencia en las métricas de Kolmogorov y Kantorovich también se extienden. A diferencia de muchos trabajos anteriores, no se hacen suposiciones de que los sumandos de las sumas geométricas sean positivos y tengan la misma distribución. Por primera vez, se establece un análogo del teorema de Rényi para el modelo de variables aleatorias intercambiables. También dentro de este modelo, se proporciona una estimación precisa de la tasa de convergencia a una mezcla especificada de distribuciones. Se estima la tasa de convergencia de las sumas aleatorias normalizadas apropiadamente de sumandos aleatorios a la distribución gamma generalizada. Aquí, el número de sumandos sigue la ley binomial negativa generalizada. Se establecen estimaciones precisas de la proximidad de las distribuciones de sumas aleatorias de sumandos aleatorios a la ley límite para sumandos independientes y para el modelo de sumandos intercambiables. Se introduce la transformación inversa de las medidas de probabilidad al equilibrio, y de esta manera se propone una nueva aproximación de las distribuciones de Pareto por leyes exponenciales. Las métricas de probabilidad integrales y las técnicas de integración con respecto a medidas de signo se emplean esencialmente.