En un horizonte de tiempo infinito, nos enfocamos en examinar la buena formulación de problemas para una categoría particular de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas Retrógradas con crecimiento cuadrático (QBSDEs) con condiciones terminales que son meramente integrables al cuadrado y generadores que son medibles. Nuestro enfoque emplea una transformación de tipo Zvonkin en conjunto con la fórmula de Itô-Krylov. Aplicamos nuestros hallazgos para derivar una representación probabilística de un conjunto particular de Ecuaciones en Derivadas Parciales con crecimiento cuadrático en el gradiente (QPDEs) caracterizadas por coeficientes que son medibles y casi seguramente continuos. Además, exploramos un problema de optimización de control estocástico relacionado con un modelo de epidemia, interpretándolo como un QBSDE de horizonte de tiempo infinito con derivadas medibles e integrables.