En este trabajo, estudiamos algunas propiedades de homogeneidad de una extensión semi-directa del grupo de Heisenberg, conocida en la literatura como el grupo del oscilador hiperbólico (o Boidol), equipada con las métricas invariante por la izquierda correspondientes a las del grupo del oscilador. Identificamos el caso naturalmente reductivo por la existencia de las estructuras homogéneas especiales correspondientes. Para los casos en los que estas estructuras homogéneas especiales no existen, exhibimos una descripción completa de las geodésicas homogéneas.