En este trabajo, utilizando el método del sistema característico, se describe el núcleo de una ecuación diferencial polinómica que implica una derivación en resolviendo el Problema de Cauchy para el sistema de EDP de primer orden correspondiente. Además, la representación del núcleo tiene un significado especial en el espacio de soluciones del sistema de EDP correspondiente. Como aplicaciones muy importantes, se ha establecido que el marco matemático desarrollado en este trabajo puede ser utilizado para el estudio de algunas EDP de segundo orden que implican un conjunto finito de derivaciones.