Los Grafos Fuertemente Mínimos (MSDs) pueden ser considerados como una generalización del concepto de árbol a grafos dirigidos. Su estructura cíclica y algunas propiedades espectrales han sido estudiadas en varios artículos. En este trabajo, estudiamos más a fondo algunas propiedades de los MSDs que tienen que ver con acotar la longitud del ciclo más largo (en cuanto al número de vértices lineales, o el máximo indegree o outdegree de los vértices); estudiando las posibles consecuencias desde el punto de vista espectral; y proporcionando una idea sobre las circunstancias en las que se puede formular un algoritmo eficiente para encontrar el ciclo más largo contenido en un MSD. Entre otras propiedades, demostramos que el número de vértices lineales contenidos en un MSD es mayor o igual al indegree (respectivamente outdegree) máximo o mínimo de cualquier vértice del MSD y que la longitud máxima de un ciclo contenido en un MSD es menor o igual a donde están el orden y el tamaño del MSD, respectivamente; encontramos un límite para los coeficientes del polinomio característico de un MSD, y finalmente, demostramos que computar el ciclo más largo contenido en un MSD es un problema NP-duro.