Damos la expansión de Karhunen-Loève de la función de covarianza de una familia de puentes Brownianos ponderados discretos, que aparecen como análogos discretos de procesos Gaussianos continuos relacionados con las estadísticas de Cramér-von Mises y Anderson-Darling. Esta analogía nos permite introducir una estadística discreta de Cramér-von Mises y demostrar que esta estadística satisface una propiedad de optimalidad asintótica local de Bahadur para una prueba estadística que implica las distribuciones hipergeométricas clásicas. Nuestra estadística y el problema de bondad de ajuste con el que tratamos se basan en propiedades básicas de los polinomios de Hahn y, por lo tanto, están sujetos a alguna extensión a todas las familias de polinomios ortogonales clásicos, así como a sus análogos. Debido probablemente a dificultades computacionales, la familia de estadísticas de Cramér-von Mises discretas ha recibido menos atención que su contraparte continua; el objetivo de este artículo es cubrir parte de esta brecha.