Investigamos los conceptos de estabilidad y estabilización para sistemas diferenciales lineales fraccionarios en el tiempo de dimensión infinita en espacios de Hilbert con derivadas de Caputo. En primer lugar, basados en una familia de operadores generados por semigrupos fuertemente continuos y en una función de densidad de probabilidad, proporcionamos condiciones suficientes y necesarias para la estabilidad exponencial de la clase de sistemas considerados. Luego, asumiendo que la dinámica del sistema es simétrica y uniformemente elíptica y utilizando las propiedades de la función de Mittag-Leffler, proporcionamos condiciones suficientes que garantizan una estabilidad sólida. Finalmente, caracterizamos un control de retroalimentación explícito que garantiza la estabilización sólida de un sistema lineal fraccional en el tiempo de Caputo controlado a través de un enfoque de descomposición. Se presentan algunos ejemplos que ilustran la efectividad de nuestros resultados.