El objetivo del presente artículo es estudiar las propiedades asintóticas de las soluciones de un sistema fraccional lineal con derivadas de tipo Riemann-Liouville y retrasos distribuidos. Probamos, bajo suposiciones naturales (similares a las utilizadas en el caso en que las derivadas son de primer orden (enteras)), la existencia y unicidad de las soluciones en el problema inicial para estos sistemas con funciones iniciales discontinuas. Como consecuencia, también demostramos la existencia de una matriz fundamental única para el sistema homogéneo, lo que nos permite establecer una representación integral de las soluciones al problema inicial para el sistema inhomogéneo correspondiente. Luego, introducimos para los sistemas estudiados un concepto de estabilidad en tiempo de Hyers-Ulam y de estabilidad en tiempo de Hyers-Ulam-Rassias. Como aplicación de los resultados obtenidos, proponemos un nuevo enfoque (en lugar del enfoque estándar de punto fijo) basado en la representación integral obtenida y establecemos condiciones suficientes que garantizan la estabilidad de tipo Hyers-Ulam en tiempo. Finalmente, se demuestra que la estabilidad de tipo Hyers-Ulam en tiempo conduce a la estabilidad de Lyapunov en tiempo para los sistemas homogéneos investigados.