Los sistemas de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario presentan propiedades de estabilidad que difieren de manera sustancial de las de los sistemas de orden entero. En este artículo se propone un análisis detallado de la estabilidad de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales fraccionarias con derivada de Caputo. A partir de los resultados conocidos de Matignon sobre la estabilidad de sistemas de orden único, para los cuales se proporciona una prueba diferente junto con una aclaración de un caso límite, la investigación se dirige también hacia sistemas de orden múltiple. Debido al papel clave de la función de Mittag-Leffler en la representación de la solución de sistemas lineales de EDF, también se propone un análisis detallado del comportamiento asintótico de esta función y de sus derivadas. Se presentan algunos experimentos numéricos para ilustrar los principales resultados.