Consideramos un operador elíptico autoadjunto de segundo orden en un grafo métrico arbitrario, al cual se le adhiere un grafo pequeño. Este grafo pequeño se obtiene mediante reescalamiento de un grafo fijo dado por un parámetro positivo pequeño. Los coeficientes en la expresión diferencial son variables, al igual que las matrices en las condiciones de frontera, y asumimos que esta dependencia es analítica. Introducimos un operador especial en una cierta extensión del grafo y asumimos que este operador no tiene autovalores incrustados en el umbral de su espectro esencial. Se sabe que bajo esta suposición el operador perturbado converge a un cierto operador límite. Nuestros resultados principales establecen la convergencia del espectro del operador perturbado al del operador límite. La convergencia de los proyectores espectrales también está demostrada. Mostramos que los autovalores del operador perturbado que convergen a autovalores discretos límites son analíticos en y lo mismo es cierto para las eigenfunciones perturbadas asociadas. Proporcionamos un algoritmo recurrente efectivo para determinar todos los coeficientes en la serie de Taylor para los autovalores y eigenfunciones perturbados.