Este documento emplea un método integral de contorno para derivar y evaluar la suma infinita del polinomio de Euler expresado en términos de la función Zeta de Hurwitz. Proporcionamos fórmulas para varias clases de sumas infinitas del polinomio de Euler en términos de la función Zeta de Riemann y constantes matemáticas fundamentales, incluida la constante de Catalan. Esta representación de la constante de Catalan sugiere que podría ser racional.