Es bien conocido que la fórmula de transformación cuadrática de Kummer es válida siempre que sus parámetros cumplan algunas condiciones específicas (ver Gradshteyn, Ryzhik, Tablas de Integrales, Series y Productos, 9.130, 9.134.1). Muy recientemente, uno de nosotros estableció una nueva identidad cuando una de estas condiciones no se cumple. En este artículo, pretendemos discutir otro caso aislado que es completamente diferente del primero. Además, al final, mencionamos dos consecuencias interesantes de estos dos nuevos resultados.