En este documento, al introducir parámetros y funciones de peso, con la ayuda de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin, establecemos la extensión de la desigualdad de Hardy-Hilbert y sus formas equivalentes. Se proporcionan afirmaciones equivalentes del factor constante mejor posible relacionado con varios parámetros. También se discuten las expresiones de operadores y algunos casos particulares.