Este documento se ocupa de los polinomios ortogonales. Se obtienen límites superiores e inferiores de los polinomios de Legendre. Además, las entropías asociadas con distribuciones de probabilidad discretas son un tema considerado en este documento. Se obtienen límites de las entropías que mejoran algunos resultados previamente conocidos en términos de desigualdades. Con el fin de ilustrar los resultados obtenidos en este documento y compararlos con otros resultados de la literatura, se proporcionan algunos gráficos.