En este trabajo, estudiamos la estabilidad, controlabilidad y juego diferencial de persecución para un sistema infinito de EDOs lineales en . El sistema que consideramos tiene un lado derecho especial, que no es diagonal y sirve como un modelo de juguete para un sistema controlable de infinitos puntos interactuantes. Imponemos restricciones integrales en los parámetros de control. Obtenemos criterios para la estabilidad y la nulidad de la controlabilidad del sistema. Además, construimos una estrategia para el perseguidor que garantiza la resolución del problema de persecución para el juego diferencial. Para probar la controlabilidad, utilizamos los llamados operadores de Gramian.