En este documento, se define una derivada fraccional genérica como un conjunto de operadores lineales que son inversos izquierdos de la integral fraccional de Riemann-Liouville. Luego, se aplica la teoría de los operadores invertibles por la izquierda desarrollada por Przeworska-Rolewicz para deducir sus propiedades. En particular, caracterizamos su dominio, espacio nulo y operador proyector; establecemos las interrelaciones entre sus diferentes realizaciones; y presentamos una fórmula de Taylor fraccional generalizada que involucra la derivada fraccional genérica. Luego, consideramos la ecuación de relajación fraccional que contiene la derivada fraccional genérica, derivamos una fórmula en forma cerrada para su solución única y estudiamos su completa monotonía.