Para un anillo conmutativo finito, sean elementos fijos. Considera la ecuación donde , , y son idempotentes, unidades y cualquier elemento en el anillo, respectivamente. Decimos que satisface la condición de limpieza -monocromática si, para cualquier coloreo de los elementos del anillo, existen con tal que la ecuación se cumpla. Definimos como el menor entero positivo tal que no satisface la condición de limpieza -monocromática. Esto significa que existe para algún donde . En este artículo, demostramos algunos resultados sobre y luego formulamos varias condiciones sobre el anillo para cuando o 3, entre otros resultados relacionados con el anillo de enteros módulo.