En este artículo expositivo, discutimos la conjetura del autor de que una métrica asociada para una forma de contacto dada en una variedad de contacto de dimensión >=5 debe tener cierta curvatura positiva. En dimensión 3, la estructura de contacto estándar en el toro de dimensión 3 admite una métrica asociada plana; también discutimos un ejemplo local, debido a Krouglov, donde existe un vecindario de curvatura negativa en una variedad métrica de contacto tridimensional particular. En la última sección, revisamos algunos resultados sobre variedades métricas de contacto con curvatura seccional negativa para secciones que contienen el campo vectorial de Reeb.